Родился 27 ноября (9 декабря) 1883 года в Москве. Учился в гимназии. В 1906 году окончил Московский университет. Ученик Н.Е.Жуковского и С.А.Чаплыгина. Преподавал математику и физику в ряде средних учебных заведений Москвы, вёл педагогическую работу в ряде вузов. С 1911 года преподавал в Московском университете (с перерывами до 1956 года). Был доцентом, с 1918 года – профессором.

В 1918 году по приглашению М.В.Фрунзе возглавил кафедру теоретической механики Иваново-Вознесенского политехнического института. Затем стал деканом инженерно-строительного факультета. В сентябре 1921 года избран ректором ИВПИ.

Вступив в должность, А.И.Некрасов утвердил новое положение института. Были реорганизованы факультеты: закрыт социально-экономический факультет, объединены инженерно-механический и инженерно-текстильный факультеты, открыт лесной факультет. Благодаря настойчивости, незаурядным организаторским способностям А.И.Некрасову удалось предотвратить готовившееся закрытие института. Большая загруженность административной работой не мешала ему читать лекции и заниматься научной работой. За время работы в ИВПИ им была написана первая часть "Курса теоретической механики", сделан перевод на русский язык первого и второго томов "Курса анализа" Гурса, подготовлены 3 научные статьи для "Известий ИВПИ".

В октябре 1922 года А.И.Некрасова переводят в Москву в Народный комиссариат просвещения РСФСР. В том же году он стал первым лауреатом премии им. Н.Е.Жуковского за работу "О волнах установившегося вида на поверхности тяжёлой жидкости". С этой работы началась его научная деятельность в области аэро- и гидродинамики. Работая в наркомате, он продолжал вести занятия со студентами, заниматься наукой.

В 1929 году Александр Иванович перешёл на работу в Центральный аэрогидродинамический институт. Уже на следующий год он становится заместителем начальника института по науке. В 1932 году его избирают членом-корреспондентом Академии Наук СССР.

В 1937 году А.И.Некрасов был арестован по ложному обвинению. Находился в заключении в ЦКБ-29 НКВД, где возглавлял теоретический отдел и работал над созданием новой авиационной техники. Вместе Ю.Б.Румером написал капитальный труд "Теория крыла в нестационарном потоке" (впервые издан в 1947 году). Освобождён в 1943 году.

В 1943-1956 годах работал консультантом теоретической и расчётной части ОКБ-156, возглавляемом А.Н.Туполевым. В 1945 году возглавил отдел аэромеханики Института механики АН СССР. Его основные исследования были посвящены фундаментальным проблемам аэро- и гидродинамики и математики, в особенности теории волн и струй, теории флаттера, линейным и нелинейным интегральным и интегродифференциальным уравнениям. 30 ноября 1946 года А.Н.Некрасов избран действительным членом Академии Наук СССР.

Заслуги Александра Ивановича отмечены Сталинской премией (1952), он награждён орденом Трудового Красного Знамени (1945), медалями. В 1947 году присвоено почётное звание "Заслуженный деятель науки и техники РСФСР".

Скончался 27 мая 1957 года. Похоронен в Москве.