ПРИЛОЖЕНИЕ

1.	Специальные разделы механики: Дополнительные главы теоретической механики
2.	Преподаватель: профессор Зубелевич Олег Эдуардович
3.	Аннотация курса: Спецкурс является естественным продолжением стандартного курса теоретической механики, читаемом на отделении механики механико-математического факультета МГУ. В курсе развивается ряд классических тем (неголономная механика, теория возмущений, эргодическая теория), но на более подробном уровне, иногда вплоть до результатов, полученных в последние годы. В частности, доказывается теорема Фробениуса и обсуждаются ее приложения к механике неголономных систем и геометрии римановых многообразий. Теория удара излагается на основе результатов, полученных в последние годы на основе лагранжева формализма. Теория интеграла Пуанкаре излагается с общих позиций теории возмущений для систем общего вида, не только гамильтоновых.
4.	Тематическое содержание курса:

Тема 1	Основные понятия теории гладких динамических систем. Векторные поля на многообразиях, положения равновесия, периодические решения, коммутатор векторных полей. Тензоры, производная Ли.	
Тема 2	Группы симметрий. Распределения на многообразии.	
Тема 3	Понятие о разрешимости группы, теорема Ли об интегрируемости системы с разрешимой группой симметрий.	
Тема 4	Теорема Фробениуса. Теорема Майера-Фробениуса.	
Тема 5	Приложения к неголономным системам.	
Тема 6	Обобщенные решения уравнений динамики и их связь с вариационными принципами динамики.	
Тема 7	Лагранжева теория удара, удары в неголономных системах.	
Тема 8	Задача об ударе шара о плоскость в отсутствие проскальзывания.	
Тема 9	Периодические по времени системы с одной степенью свободы. Интеграл Пуанкаре.	
Тема 10	Доказательство теоремы об интеграле Пуанкаре.	
Тема 11	Элементы эргодической теории. Системы с инвариантной мерой, теорема Лиувилля. Теорема Пуанкаре о возвращении.	
Тема 12	Три эквивалентные определения эргодичности. Доказательство эквивалентности, примеры.	
Тема 13	Теорема Биркгофа-Хинчина и эргодическая теорема Иосиды.	
Тема 14	Доказательство эргодической теоремы Иосиды.	
Тема 15	Бесконечномерная теорема Массера и ее связь с эргодической теорией.	
Тема 16	Доказательство теоремы Массера.	
Тема 17*	Приложения к динамике линейно упругого тела.	
* - если специальный курс читается в нечетном семестре (продолжительность нечетного семестра 18 недель, четного семестра 17 недель).

5.	Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.
Список экзаменационных вопросов соответствует темам курса, изложенным в п. 4. Экзаменационный билет состоит из двух вопросов из списка экзаменационных вопросов и одной задачи.

Примеры экзаменационных задач:
1. Задача об ударе саней Чаплыгина о стену.
2. Ввести подходящим образом малый параметр в задаче о двойном маятнике, выполнить понижение порядка по Уитеккеру, обнаружить явление расщепления асимптотических поверхностей.
3. Доказать эргодичность квазипериодического потока на торе.
4. Доказать, что динамическая система с одной степенью свободы и склерономными идеальными связями голономна.

Примеры экзаменационных билетов:
Билет № 1.
1.	Теорема Фробениуса.
2.	Группы симметрий. Распределения на многообразии.
3.	Задача: Доказать, что динамическая система с одной степенью свободы и склерономными идеальными связями голономна.
Билет № 2.
1.	Доказательство эргодической теоремы Иосиды.
2.	Обобщенные решения уравнений динамики и их связь с вариационными принципами динамики.
3.	Задача: Шайба (круглый однородный тонкий диск массы m и радиуса r) скользит без трения по льду в хоккейной коробке. В какой-то момент шайба ударяется о борт. Скорость центра шайбы и её угловая скорость до удара, а также коэффициент сухого трения шайбы о борт известны. Найти угловую скорость шайбы и скорость её центра после удара. Считать, что потери энергии в задаче могут происходить только за счёт силы трения.

6.	Ресурсное обеспечение:
•	Перечень основной учебной литературы:
1. В.И.Арнольд Математические методы классической механики.
2. Д.В.Трещев Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем.
3. В.И.Арнольд, В.В.Козлов, А.И.Нейштадт Математические аспекты классической и небесной механики.
4. В.И. Арнольд Дополнительные главы обыкновенных дифференциальных уравнений.
•	Перечень дополнительной учебной литературы:
1. Олвер Приложения к групп Ли к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
2. Я. Г. Синай Введение в эргодическую теорию.
3. Б.П. Демидович Лекции по математической теории устойчивости.
•	Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»:
http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ode.pdf Gerald Teschl OrdinaryDifferential Equations and Dynamical Systems