ПРИЛОЖЕНИЕ

1.	Специальный полугодовой курс по выбору кафедры: Динамика систем твердых тел с трением
2.	Преподаватель: доцент Зобова Александра Александровна
3.	Аннотация курса: Спецкурс знакомит слушателей с различными подходами к решению задач о движении механических систем, включающих контактное взаимодействие с трением. Изучаются законы трения при движении точки по прямой (сухое трение, вязкое трение, зависимость коэффициента трения от скорости, модель LuGre) и автоколебания в таких системах. Вводится определение А.Ф. Филиппова решения дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Рассматривается парадокс трения Пэнлеве, его причины и разрешение с помощью введения деформации связей. Подробно рассматриваются распределенные модели трения (трение Контенсу-Эрисмана, динамически совместное трение А.П. Иванова, шероховатая вязкоупругая плоскость) в задачах о движении однородного шара и цилиндра по шероховатой горизонтальной плоскости. Изучаются модели трения для плоскопараллельного движения тела с учетом сцепления в области контактного взаимодействия. Дается понятие о построении линейной задачи дополнительности как средстве численного интегрирования динамики механических систем с односторонними связями и сухим трением. Каждая тема сопровождается подробным рассмотрением механического примера.
4.	Тематическое содержание курса:

Тема 1	Модели трения в динамике точки. Модель сухого трения Кулона, вязкое трение, эффект Штрибека, модель LuGre. Автоколебания в системах с трением.	
Тема 2	Определение А.Ф. Филиппова решения дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.	
Тема 3	Пример неразрешимости уравнения, определяющего реакцию неидеальной связи: качение выпуклой пластинки по прямой с сухим трением в вертикальной плоскости с проскальзыванием.	
Тема 4	Парадокс Пенлеве: задача о движении двух масс по параллельным направляющим (пример Пенлеве-Клейна).	
Тема 5	Уравнения движения механической системы с трением при учете деформации связи. Исследование уравнений движения методом асимптотического разделения движений.	
Тема 6	Исследование системы Пенлеве-Клейна с учетом деформации связи методом асимптотического разделения движений. Понятие удара трением.	
Тема 7	Трение в случае неточечного контакта. Задача Герца о равновесии двух упругих полупространств.	
Тема 8	Трение Контенсу-Эрисмана. Общие свойства силы и момента трения.	
Тема 9	Исследование выражений для силы и момента трения Контенсу-Эрисмана при учете малости пятна контакта.	
Тема 10	Движение однородного шара по плоскости с трением Контенсу-Эрисмана.	
Тема 11	Динамически совместная модель трения А.П. Иванова. Исследование свойств распределения нормальных напряжений.	
Тема 12	Динамически совместная модель трения А.П. Иванова. Сила и  момент трения, их свойства. Движение шайбы по горизонтальной плоскости.	
Тема 13	Модель вязкоупругого основания (elastic foundation model). Построение модели для контакта шара и плоскости в поле силы тяжести. 	
Тема 14	Движение цилиндра вдоль вязкоупругой плоскости с учетом сцепления в области контактного взаимодействия.	
Тема 15	Постановка линейной задачи дополнительности в механических системах с идеальным связями. Условия Синьорини.	
Тема 16	Постановка линейной задачи дополнительности в механических системах с сухим трением.	
Тема 17*	Разбор примеров построения схемы линейной задачи дополнительности для различных механических систем.	
* - если специальный курс читается в нечетном семестре (продолжительность нечетного семестра 18 недель, четного семестра 17 недель).

5.	Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.
Список экзаменационных вопросов:
1.	Модели трения в динамике точки: трение Кулона, вязкое трение, квадратичное трение.
2.	Сравнение динамики точки, движущейся по прямой, в случае сухого, вязкого и квадратичного трения. Фазовые портреты.
3.	Качение с проскальзыванием выпуклой пластинки по прямой с сухим трением в вертикальной плоскости.
4.	Условие отрыва, несуществования решения и неединственности решения при качении пластинки по прямой.
5.	Проявление парадокса Пенлеве в задаче о движении двух масс по параллельным направляющим (пример Пенлеве-Клейна).
6.	Исследование уравнений движения системы с трением при учете деформации связи методом асимптотического разделения движений на примере Пэнлеве-Клейна. Понятие об ударе трением.
7.	Трение в случае неточечного контакта: расчет силы и момента трения.
8.	Трение Контенсу-Эрисмана. Его свойства.
9.	Исследование выражений для силы и момента трения Контенсу-Эрисмана при учете малости пятна контакта.
10.	Сравнение сухого трения Кулона и трения Контенсу-Эрисмана.
11.	Движение однородного шара по плоскости с трением Контенсу-Эрисмана.
12.	Сравнение динамики однородного шара, движущегося вдоль плоскости, в четырех случаях: гладкая плоскость, абсолютно шероховатая плоскость, плоскость с трением Кулона, плоскость с трением Контенсу-Эрисмана.
13.	Принцип построения динамически совместной модели трения А.П. Иванова.
14.	Свойства распределения нормальных напряжений в динамически совместной модели трения..
15.	Сила и момент трения в динамически совместной модели трения. 
16.	Движение шайбы по горизонтальной плоскости. Уравнения движения, фазовый портрет.
17.	Эффект увода с прямолинейной траектории шайбы, движущейся по плоскости с трением.
18.	Модель вязкоупругого основания (elastic foundation model). Принцип построения, преимущества и недостатки.
19.	Построение модели для контакта шара и вязкоупругой плоскости в поле силы тяжести. Распределение нормальных напряжений.
20.	Динамика вязкоупругого цилиндра на вязкоупругой полуплоскости с учетом сцепления материалов в области контактного взаимодействия.
21.	Автоколебания в системах с трением: груз на конвейере.
22.	Трение, описываемое формулой Пачейки: значение коэффициентов, свойства модели. 
23.	Модель трения LuGre: выражение для силы, значение силы при равномерном движении. Смысл внутренней переменной и область ее значений.
24.	Линейная задача дополнительности в механических системах с односторонними связями. Дополнительные переменные.
25.	Линейная задача дополнительности в механических системах с сухим трением. Запись условия трения скольжения и трения покоя.

Примеры экзаменационных задач:
1.	В вертикальной плоскости по неподвижной абсолютно твердой горизонтальной прямой с сухим трением Кулона скользит абсолютно твердый однородный стержень длины 2l, касаясь прямой одним из своих концов. Найти значения коэффициента трения, при которых невозможно вычислить нормальную реакцию. При каких значения фазовых переменных возможен отрыв тела от плоскости?
2.	Пусть площадка контакта между телом и с опорной плоскостью есть плоский круг, а распределение нормальных напряжений описывается квадратичным законом (дается формула). Пусть в каждой малой площадке действует классическая сила трения Кулона. Найти главный вектор сил трения и момент сил трения относительно центра площадки. Построить графики функций, выражающих силу и момент трения.
3.	Каково максимальное значение коэффициента трения скольжения, при котором однородный куб со стороной a может равномерно прямолинейно скользить вдоль неподвижной горизонтальной прямой без опрокидывания под действием внешней силы F, приложенной к центру куба? Пусть распределение нормальных напряжений зависит от декартовых координат точек нижней грани по линейному закону. Найти коэффициенты этого закона из условия, что куб скользит по горизонтальной плоскости без опрокидывания.
4.	Найти период и амплитуду автоколебаний груза на равномерно движущемся горизонтальном шероховатом конвейере. Считать, что коэффициент трения скольжения равен f, коэффициент трения покоя f*, f < f*.
5.	Составить LCP-схему для решения задачи о движении свободной материальной точки в двумерном пространстве Oxy при наложенной неидеальной односторонней связи y <= 0. Считать, что касательная составляющая реакции описывается законом сухого трения Кулона (скольжения и покоя) с коэффициентом f.

Оценивание результатов обучения происходит на основании ответов на вопросы экзаменационного билета. Билет состоит из одного вопроса из списка экзаменационных вопросов и одной задачи.
Примеры экзаменационных билетов:
Билет № 1.
1.	Модели трения в динамике точки: трение Кулона, вязкое трение, квадратичное трение.
2.	Задача на составление схемы линейной задачи дополнительности.
Билет № 2.
1.	Сравнение динамики точки, движущейся по прямой, в случае сухого, вязкого и квадратичного трения. Фазовые портреты.
2.	Задача на автоколебания.
Билет № 3.
1.	Линейная задача дополнительности в механических системах с сухим трением. Запись условия трения скольжения и трения покоя.
2.	Задача на движение выпуклой пластинки вдоль прямой с сухим трением Кулона.

6.	Ресурсное обеспечение:
•	Перечень основной учебной литературы:
1.	А.П. Иванов Основы теории систем с трением. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011.
2.	В.В. Андронов, В.Ф. Журавлев Сухое трение в задачах механики. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010.
3.	В.А. Самсонов Очерки о механике. Некоторые задачи, явления и парадоксы. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
4.	А.С. Сумбатов, Е.К. Юнин Избранные задачи механики систем с сухим трением. М.: Физматлит, 2013.
5.	Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Теория упругости. Изд. 4-е, испр. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 248 с.
6.	Горячева И. Г. Механика фрикционного взаимодействия.  М.: Наука, 2001. 478 с.
•	Перечень дополнительной учебной литературы:
1.	Сальникова Т.В., Трещев Д.В., Галлямов С.Р. Движение свободной шайбы по шероховатой горизонтальной плоскости // Нелин. динамика. 2012. Т. 8. № 1. С. 83-101.
2.	Кулешов А.С., Трещeв Д.В., Иванова Т.Б., Наймушина О.С. Твердый цилиндр на вязкоупругой плоскости // Нелин. динамика. 2011. Т. 7. №3. C. 601-625.
3.	Зобова А.А., Трещев Д.В. Шар на вязкоупругой плоскости // Труды МИАН. 2013. Т. 281. С. 98-126.
4.	K. Astrom, C. Canudas Revisiting the LuGre friction model // Control Systems. IEEE. V. 28. № 6. P. 101-114.
5.	M. Anitescu, F.A. Potra Formulating dynamic multi-rigid-body contact problems with friction as solvable Linear Complementarity Problems // Nonlinear Dynamics. 1997. № 14. P. 231-247.
6.	Горячева И.Г., Зобова A.A. Динамика движения упругого цилиндра по упругому основанию // ПММ. 2019. Т. 83. Вып. 1. С. 39-46.
7.	Горячева И.Г., Зобова A.A. Торможение жесткого цилиндра, скользящего по вязкоупругому основанию // ПММ. 2019. Т. 83. Вып. 2. С. 215-227.