ПРИЛОЖЕНИЕ

1.	Избранные модели аналитической механики: Основы механики неголономных систем
2.	Преподаватель: доцент Кулешов Александр Сергеевич
3.	Аннотация курса: Классическая динамика неголономных систем, с одной стороны, имеет примерно полуторавековую историю,  а с другой – всё ещё, так или иначе, сохраняет облик дисциплины изолированной и отчасти противопоставленной динамике систем голономных. Дело здесь не столько в названии, сколько – во первых – в том, что объекты этой дисциплины исследуются скорее индивидуально, нежели на основании общих подходов, которые расширяли бы методы динамики голономных систем и – во вторых – в том, что ведут себя эти объекты, согласно широко распространённому мнению, часто неожиданно. В динамике неголономных систем известно сравнительно немного точно решённых задач, поэтому исследования, относящиеся к этой науке, вызывают известный интерес как у нас в стране, так и за рубежом.
Неголономные модели различных механических систем находят применение при решении многих технических задач: в теории движения велосипеда и мотоцикла, в теории движения автомобиля, в теории взаимодействия колеса и дороги, в теории движения электрических машин и, с недавнего времени, при изучении движения мобильных роботов.
Цель курса состоит в том, чтобы познакомить слушателей с общими принципами и методами неголономной механики и дать им представление об основных новых методах неголономной механики, научить их решать широкий класс задач, а также сформировать их культурные и профессиональные навыки. В результате работы над данным курсом слушатели должны овладеть основными новыми методами неголономной механики, позволяющими, в частности, быстро и эффективно, получать уравнения движения систем с дифференциальными связями и проводить анализ этих уравнений. Слушатели должны научиться теоретическому мышлению на новом уровне, включающем в себя применение полученных теоретических знаний к решению актуальных задач механики.
4.	Тематическое содержание курса:

Тема 1	Голономные и неголономные связи. Простейшие неголономные системы: сани Чаплыгина, шар на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Элементарное доказательство их неголономности.	
Тема 2	Системы Чаплыгина. Уравнения Чаплыгина. Вывод уравнений Чаплыгина из принципа Д’Аламбера – Лагранжа, записанного в обобщённых координатах.	
Тема 3	Члены неголономности. Отличие уравнений Чаплыгина от уравнений Лагранжа. Примеры неголономных систем, для которых члены неголономности обращаются в ноль.	
Тема 4	Энергия ускорений системы материальных точек и энергия ускорений твёрдого тела. Аналог формулы Кёнига для энергии ускорений.	
Тема 5	Псевдоскорости и псевдокоординаты. Уравнения движения неголономных систем в форме уравнений Аппеля. Примеры решения задач с помощью уравнений Аппеля: шар на вращающейся горизонтальной плоскости, шар в вертикальном цилиндре.	
Тема 6	Движение тяжёлого тела вращения по неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Энергия ускорений тела, уравнения движения тела в форме уравнений Аппеля. 	
Тема 7	Известные классические случаи полного решения задачи о движении тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости: движение динамически симметричного шара и бесконечно тонкого круглого диска.	
Тема 8	Результаты Х.М. Муштари в задаче о движении тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Дальнейшее развитие результатов, полученных Х.М. Муштари.	
Тема 9	Алгоритм Ковачича и его применение к задаче о движении тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости: доказательство отсутствия лиувиллевых решений в задачах о движении по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости бесконечно тонкого диска, диска конечной толщины и тора.	
Тема 10	Математические модели, описывающие движение человека на роликовой доске (скейтборде). Кинематика скейтборда. Простейшая математическая модель скейтборда, её уравнения движения в форме уравнений Аппеля.	
Тема 11	Зависимость устойчивости равномерного прямолинейного движения скейтборда от направления движения. Случаи полного интегрирования уравнений неуправляемого движения скейтборда.	
Тема 12	Метод нормальной формы Пуанкаре и его применение для анализа нелинейных эффектов в динамике скейтборда при малых скоростях движения.	
Тема 13	Динамика кельтского камня. Уравнения движения кельтского камня, условия существования стационарных вращений.  Зависимость устойчивости равномерного вращения кельтского камня от направления вращения.	
Тема 14	Применение метода нормальной формы Пуанкаре для исследования нелинейных эффектов в динамике кельтского камня при малых угловых скоростях вращения.	
Тема 15	Движение по горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух симметричных пластинок. Олоид и тело, состоящее из двух эллиптических пластинок. Траектории точек касания тела с плоскостью на неподвижной плоскости.	
Тема 16	Положения равновесия тела, состоящего из двух симметричных пластинок и опирающегося на горизонтальную плоскость. Зависимость устойчивости положений равновесия от взаимного расположения пластинок.	
Тема 17*	Математическая модель, описывающая движение человека на роликовой доске – снейкборде. Уравнения движения снейкборда в форме уравнений Аппеля. Обоснование основных принципов катания на снейкборде.	
* - если специальный курс читается в нечетном семестре (продолжительность нечетного семестра 18 недель, четного семестра 17 недель).

5.	Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.
Список экзаменационных вопросов:
1.	Неголономная система сани (конёк) Чаплыгина. Элементарное доказательство её неголономности.
2.	Неголономная система шар на абсолютно шероховатой плоскости. Элементарное доказательство её неголономности.
3.	Неголономные системы Чаплыгина. Уравнения Чаплыгина.
4.	Энергия ускорений системы материальных точек и энергия ускорений твёрдого тела. Аналог формулы Кёнига для энергии ускорений.
5.	Псевдоскорости и псевдокоординаты. Уравнения движения неголономных систем в форме уравнений Аппеля. Однородный шар на вращающейся горизонтальной плоскости.
6.	Псевдоскорости и псевдокоординаты. Уравнения движения неголономных систем в форме уравнений Аппеля. Однородный шар в вертикальном цилиндре.
7.	Движение тяжёлого тела вращения на неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Энергия ускорений тела, уравнения движения тела в форме уравнений Аппеля.
8.	Движение по абсолютно шероховатой плоскости неоднородного динамически симметричного шара. Уравнения движения шара в форме уравнений Аппеля, первые интегралы уравнений движения.
9.	Движение по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости бесконечно тонкого круглого диска. Выражения для компонент угловой скорости диска с помощью гипергеометрических рядов.
10.	Движение по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости динамически симметричного параболоида в случае Х.М. Муштари. Уравнения движения параболоида в форме уравнений Аппеля и их первые интегралы.
11.	Движение по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости веретенообразного тела в случае Х.М. Муштари. Уравнения движения тела и их первые интегралы.
12.	Математические модели, описывающие движение человека на роликовой доске – скейтборде. Кинематика скейтборда.
13.	Простейшая математическая модель скейтборда, её уравнения движения в форме уравнений Аппеля. 
14.	Зависимость устойчивости равномерного прямолинейного движения скейтборда от направления движения.
15.	Метод нормальной формы Пуанкаре и его применение для анализа нелинейных эффектов в динамике скейтборда при малых скоростях движения.
16.	Динамика кельтского камня. Уравнения движения кельтского камня, условия существования стационарных вращений.
17.	Зависимость устойчивости равномерного вращения кельтского камня от направления вращения.
18.	Движение по горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух симметричных пластинок. Движение олоида. Устойчивость положений равновесия олоида на плоскости.
19.	Движение по горизонтальной плоскости тела, называемого Two-Circle-Roller. Устойчивость положений равновесия тела на плоскости.
20.	Движение по горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух эллиптических пластинок. Устойчивость положений равновесия тела на плоскости.
21.	Математическая модель,  описывающая движение человека на роликовой доске – снейкборде. Уравнения движения снкйкборда в форме уравнений Аппеля. Основные принципы катания на снейкборде.

Примеры задач для самостоятельной работы обучающихся:
1.	Выписать в углах Эйлера уравнения связи для шара, катящегося по горизонтальной плоскости без проскальзывания.
2.	Доказать неголономность системы, представляющей собой круглый диск, катящийся по плоскости без проскальзывания.
3.	Доказать неголономность системы, представляющей собой два колеса, соединённые осью и катящиеся по плоскости без проскальзывания. Ось проходит через центры колёс перпендикулярно плоскости каждого из них и параллельна плоскости, по которой колёса катятся. Колёса относительно оси вращаются свободно.
4.	Найдите движение тяжёлого однородного шара, катящегося без проскальзывания по вращающейся наклонной плоскости.
5.	Тяжёлый однородный шар массы m и радиуса r катится без проскальзывания по внутренней поверхности сферы радиуса R. Составить уравнения динамики и найти их первые интегралы.
6.	Тяжёлый однородный шар массы m и радиуса r катится без проскальзывания по поверхности кругового конуса с углом 2a при вершине. Ось конуса вертикальна. Составить уравнения динамики и найти их первые интегралы.
7.	Найдите движение механической системы, описанной в Задаче 3, при условии, что колёса связаны пружиной жёсткости c, работающей на кручение (упругий торсион), то есть на каждое из колёс действует момент, равный по модулю c|j|, где j - угол поворота одного колеса относительно другого, и направленный по оси, соединяющей колёса.
8.	Покажите, что динамические уравнения Эйлера для движения твёрдого тела с неподвижной точкой могут быть получены как уравнения Аппеля в псевдокоординатах.
9.	Однородный круглый диск массы m и радиуса r может катиться по неподвижной горизонтальной плоскости без проскальзывания, причём плоскость диска остаётся вертикальной (модель колеса тележки в универсаме). Найти движение диска при произвольных начальных условиях, если известно, что связи, наложенные на диск, идеальны.
10.	Найдите движение тяжёлого однородного диска, катящегося по наклонной плоскости без проскальзывания при условии, что во всё время движения плоскость диска остаётся перпендикулярной наклонной плоскости.

Оценивание результатов обучения происходит на основании ответов на вопросы экзаменационного билета. Билет состоит из одного вопроса из списка экзаменационных вопросов и одной задачи из списка задач для самостоятельной работы обучающихся.
Экзаменационные билеты:
Билет №1
1.	Неголономная система сани (конёк) Чаплыгина. Элементарное доказательство её неголономности.
2.	Найдите движение механической системы, представляющей собой два колеса, соединённые осью и катящиеся по плоскости без проскальзывания. Ось проходит через центры колёс перпендикулярно плоскости каждого из них и параллельна плоскости, по которой колёса катятся. Колёса относительно оси вращаются свободно и связаны пружиной жёсткости c, работающей на кручение (упругий торсион), то есть на каждое из колёс действует момент, равный по модулю c|j|, где j - угол поворота одного колеса относительно другого, и направленный по оси, соединяющей колёса.
Билет №2
1.	Неголономная система шар на абсолютно шероховатой плоскости. Элементарное доказательство её неголономности.
2.	Однородный круглый диск массы m и радиуса r может катиться по неподвижной горизонтальной плоскости без проскальзывания, причём плоскость диска остаётся вертикальной (модель колеса тележки в универсаме). Найти движение диска при произвольных начальных условиях, если известно, что связи, наложенные на диск, идеальны.
Билет №3
1.	Неголономные системы Чаплыгина. Уравнения Чаплыгина.
2.	Найдите движение тяжёлого однородного диска, катящегося по наклонной плоскости без проскальзывания при условии, что во всё время движения плоскость диска остаётся перпендикулярной наклонной плоскости.
Билет №4
1.	Энергия ускорений системы материальных точек и энергия ускорений твёрдого тела. Аналог формулы Кёнига для энергии ускорений.
2.	Тяжёлый однородный шар массы m и радиуса r катится без проскальзывания по поверхности кругового конуса с углом 2a при вершине. Ось конуса вертикальна. Составить уравнения динамики и найти их первые интегралы.
Билет №5
1.	Псевдоскорости и псевдокоординаты. Уравнения движения неголономных систем в форме уравнений Аппеля. Однородный шар на вращающейся горизонтальной плоскости.
2.	Однородный круглый диск массы m и радиуса r может катиться по неподвижной горизонтальной плоскости без проскальзывания, причём плоскость диска остаётся вертикальной (модель колеса тележки в универсаме). Найти движение диска при произвольных начальных условиях, если известно, что связи, наложенные на диск, идеальны.
Билет №6
1.	Псевдоскорости и псевдокоординаты. Уравнения движения неголономных систем в форме уравнений Аппеля. Однородный шар в вертикальном цилиндре.
2.	Доказать неголономность системы, представляющей собой круглый диск, катящийся по плоскости без проскальзывания.
Билет №7
1.	Движение тяжёлого тела вращения на неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Энергия ускорений тела, уравнения движения тела в форме уравнений Аппеля.
2.	Выписать в углах Эйлера уравнения связи для шара, катящегося по горизонтальной плоскости без проскальзывания.
Билет №8
1.	Движение по абсолютно шероховатой плоскости неоднородного динамически симметричного шара. Уравнения движения шара в форме уравнений Аппеля, первые интегралы уравнений движения.
2.	Тяжёлый однородный шар массы m и радиуса r катится без проскальзывания по внутренней поверхности сферы радиуса R. Составить уравнения динамики и найти их первые интегралы.
Билет №9
1.	Движение по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости бесконечно тонкого круглого диска. Выражения для компонент угловой скорости диска с помощью гипергеометрических рядов.
2.	Выписать в углах Эйлера уравнения связи для шара, катящегося по горизонтальной плоскости без проскальзывания.
Билет №10
1.	Движение по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости динамически симметричного параболоида в случае Х.М. Муштари. Уравнения движения параболоида в форме уравнений Аппеля и их первые интегралы.
2.	Доказать неголономность системы, представляющей собой круглый диск, катящийся по плоскости без проскальзывания.
Билет №11
1.	Движение по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости веретенообразного тела в случае Х.М. Муштари. Уравнения движения тела и их первые интегралы.
2.	Доказать неголономность системы, представляющей собой два колеса, соединённые осью и катящиеся по плоскости без проскальзывания. Ось проходит через центры колёс перпендикулярно плоскости каждого из них и параллельна плоскости, по которой колёса катятся. Колёса относительно оси вращаются свободно.
Билет №12
1.	Математические модели, описывающие движение человека на роликовой доске – скейтборде. Кинематика скейтборда.
2.	Найдите движение механической системы, представляющей собой два колеса, соединённые осью и катящиеся по плоскости без проскальзывания. Ось проходит через центры колёс перпендикулярно плоскости каждого из них и параллельна плоскости, по которой колёса катятся. Колёса относительно оси вращаются свободно и связаны пружиной жёсткости c, работающей на кручение (упругий торсион), то есть на каждое из колёс действует момент, равный по модулю c|j|, где j - угол поворота одного колеса относительно другого, и направленный по оси, соединяющей колёса.
Билет №13
1.	Простейшая математическая модель скейтборда, её уравнения движения в форме уравнений Аппеля.
2.	Найдите движение тяжёлого однородного шара, катящегося без проскальзывания по вращающейся наклонной плоскости.
Билет №14
1.	Зависимость устойчивости равномерного прямолинейного движения скейтборда от направления движения. 
2.	Тяжёлый однородный шар массы m и радиуса r катится без проскальзывания по поверхности кругового конуса с углом 2a при вершине. Ось конуса вертикальна. Составить уравнения динамики и найти их первые интегралы.
Билет №15
1.	Метод нормальной формы Пуанкаре и его применение для анализа нелинейных эффектов в динамике скейтборда при малых скоростях движения. 
2.	Тяжёлый однородный шар массы m и радиуса r катится без проскальзывания по внутренней поверхности сферы радиуса R. Составить уравнения динамики и найти их первые интегралы.
Билет №16
1.	Динамика кельтского камня. Уравнения движения кельтского камня, условия существования стационарных вращений.
2.	Покажите, что динамические уравнения Эйлера для движения твёрдого тела с неподвижной точкой могут быть получены как уравнения Аппеля в псевдокоординатах.
Билет №17
1.	Зависимость устойчивости равномерного вращения кельтского камня от направления вращения.
2.	Выписать в углах Эйлера уравнения связи для шара, катящегося по горизонтальной плоскости без проскальзывания.
Билет №18
1.	Движение по горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух симметричных пластинок. Движение олоида. Устойчивость положений равновесия олоида на плоскости.
2.	Найдите движение тяжёлого однородного шара, катящегося без проскальзывания по вращающейся наклонной плоскости.
Билет №19
1.	Движение по горизонтальной плоскости тела, называемого Two-Circle-Roller. Устойчивость положений равновесия тела на плоскости.
2.	Доказать неголономность системы, представляющей собой два колеса, соединённые осью и катящиеся по плоскости без проскальзывания. Ось проходит через центры колёс перпендикулярно плоскости каждого из них и параллельна плоскости, по которой колёса катятся. Колёса относительно оси вращаются свободно.
Билет №20
1.	Движение по горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух эллиптических пластинок. Устойчивость положений равновесия тела на плоскости.
2.	Доказать неголономность системы, представляющей собой круглый диск, катящийся по плоскости без проскальзывания.
Билет №21
1.	Математическая модель,  описывающая движение человека на роликовой доске – снейкборде. Уравнения движения снкйкборда в форме уравнений Аппеля. Основные принципы катания на снейкборде.
2.	Выписать в углах Эйлера уравнения связи для шара, катящегося по горизонтальной плоскости без проскальзывания.

6.	Ресурсное обеспечение:
•	Перечень основной учебной литературы:
1.	Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука. 1967. 519 с.
2.	Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твёрдой поверхностью. М.: Наука. 1992. 336 с.
3.	Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз. 1961. 824 с.
4.	Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Динамические системы–3. Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1985. с. 5–290.
5.	Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Наука. Физматлит.1997. 320 с.
•	Перечень дополнительной учебной литературы:
1.	Антонов И.Л. Избранные задачи теоретической механики. М.: Изд-во МГУ. 1986. 73 с.
2.	Антонов И.Л. Как решать задачи по теоретической механике. М.: Изд-во МГУ. 2010. 194 с.
3.	Чаплыгин С.А. О движении тяжёлого тела вращения на горизонтальной плоскости // Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии. 1897. Т. 9. Вып. 1. С. 10-16.
4.	Appell P. Su rune forme generale des equations de la dynamique // Comptes Rendus hebdomadaires des Seances de l’Academie des Sciences. 1899. T. 129. P. 423-427.
5.	Appell P. Les mouvements de roulement en dynamique. Paris. Gauthier-Villars. 1899. 70 p.
6.	Appell P. Sur l’integration des equations du mouvement d’un corps pesant de revolution roulant par une arête circulaire sur un plane horizontal; cas particulier du cerceau // Rendiconti del circolo matematico di Palermo. 1900. T. 14. P. 1-6. 
7.	Муштари Х.М. О катании тяжёлого твёрдого тела вращения по неподвижной горизонтальной плоскости // Математический сборник. 1932. Т. 39. № 1-2. С. 105-126.
8.	Кулешов А.С. О первых интегралах уравнений движения тяжёлого тела вращения на абсолютно шероховатой плоскости // препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.2002. № 68. 20 с.
9.	Кулешов А.С. О первых интегралах уравнений движения симметричного гиростата на абсолютно шероховатой плоскости // Прикладная математика и механика. 2006. Том 70. Вып. 1. С. 40-45. 
10.	Kovacic J. An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations // Journal of Symbolic Computation. 1986. Vol. 2. P. 3-43. 
11.	Batista M. Integrability of the Motion of a Rolling Disk of Finite Thickness on a Plane // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2006. Vol. 41. Issues 6-7. P. 850-859.
12.	Кулешов А.С., Черняков Г.А. Применение алгоритма Ковачича для исследования задачи о движении тяжёлого тела вращения по абсолютно шероховатой плоскости // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2013. № 4. С. 93–102.
13.	Кулешов А.С., Черняков Г.А. О качении параболоида вращения по неподвижной абсолютно шероховатой плоскости // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2014. № 4. С. 624–631. 
14.	Кремнёв А.В., Кулешов А.С. Нелинейная динамика и устойчивость движения простейшей модели скейтборда. М.: Издательство Центра прикладных исследований при Механико-математическом факультете МГУ. 2007. 104 с.
15.	Кремнёв А.В., Кулешов А.С. Математическая модель скейтборда с тремя степенями свободы. М.: Издательство Центра прикладных исследований при Механико-математическом факультете МГУ. 2008. 72 с.
16.	Kremnev A.V., Kuleshov A.S. Nonlinear dynamics and stability of the skateboard // Discrete and Continuous Dynamical System, Series S. 2010. Vol. 3. No. 1. P. 85-103.
17.	Ispolov Yu.G., Smolnikov B.A. Skateboard Dynamics // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1996. Vol. 131. P. 327-333. 
18.	Астапов И.С. Об устойчивости вращения кельтского камня // Вестник Московского Университета. Серия 1, Математика, Механика. 1980. № 2. С. 97–100.
19.	Карапетян А.В. О перманентных вращениях тяжёлого твёрдого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 1981. Том 45. Вып. 5. С. 808-814.
20.	Карапетян А.В. Бифуркация Хопфа в задаче о движении тяжёлого твёрдого тела по шероховатой плоскости // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. 1985. № 2. С. 19-24.
21.	Маркеев А.П. О динамике твёрдого тела на абсолютно шероховатой плоскости // Прикладная математика и механика. 1983. Том 47. Вып. 4. С. 575-582. 
22.	Dirnboek H., Stachel H. The Development of the Oloid // Journal of Geometry and Graphics. 1997. Vol. 1. P. 105-118.
23.	Кулешов А.С., Хаббард М., Петерсон Д.Л., Джеде Д. О движении олоида по горизонтальной плоскости // Нелинейная динамика. 2011. Т. 7. № 4. С. 825-835.
24.	Кулешов А.С., Ицкович М.О. О движении по горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух эллиптических пластинок // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2012. № 3. С. 87–92.
25.	Ицкович М.О., Кулешов А.С. О движении по горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух симметричных пластинок // Вестник Московского Университета. Серия 1, Математика, Механика. 2015. № 2. С. 36–41.
26.	Lewis A.D., Ostrowski J.P., Murray R.M., Burdick J.W. Nonholonomic Mechanics and Locomotion: The Snakeboard Example // Proceedings of the IEEE ICRA. San Diego. May 1994. P. 2391-2400.
27.	Ostrowski J.P., Burdick J.W., Lewis A.D., Murray R.M. The Mechanics of Undulatory Locomotion: The Mixed Kinematic and Dynamic Case // Proceedings of the IEEE ICRA. Nagoya. Japan.May 1995. P. 1945-1951.
28.	Кулешов А.С. Математическая модель снейкборда // Математическое моделирование. 2006. Т. 18. № 5. С. 37-48.
29.	Kuleshov A.S. Further development of the mathematical model of a snakeboard // Regular and Chaotic Dynamics. 2007. Vol. 12, no. 3. P. 321-334.