ПРИЛОЖЕНИЕ

1.	Специальный годовой курс по выбору кафедры: Устойчивость и бифуркация движений
2.	Преподаватель: профессор Карапетян Александр Владиленович
3.	Аннотация курса: В спецкурсе излагаются основы математической теории устойчивости (теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости, теорема Четаева о неустойчивости, теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости, теорема Красовского о неустойчивости, теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости и неустойчивости по первому приближению, критические случаи одного нулевого корня, пары чисто мнимых корней, особенного случая нескольких нулевых корней, теория Флоке-Ляпунова и т.п.). Обсуждаются проблемы теории устойчивости движения механических систем (теоремы Лагранжа, Рауса, Кельвина-Четаева и их модификации) и основы теории бифуркации (ветвление решений, рождение предельных циклов, бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла и т.п.). Общие положения иллюстрируются многочисленными примерами из динамики точки и твердого тела в различных силовых полях. Спецкурс предназначен для студентов 4-го курса.
4.	Тематическое содержание курса:

Тема 1	Основные понятия теории устойчивости. Первый и второй методы Ляпунова. Функции Ляпунова и Хана.	
Тема 2	Теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.	
Тема 3	Теоремы Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости и теорема Красовского о неустойчивости.	
Тема 4	Теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости и неустойчивости по первому приближению. Критерий Рауса-Гурвица и метод D-разбиений.	
Тема 5	Теоремы Румянцева об устойчивости и асимптотической устойчивости по части переменных. Теоремы Зубова об устойчивости и асимптотической устойчивости инвариантных множеств.	
Тема 6	Устойчивость линейных систем. Теория Флоке-Ляпунова.	
Тема 7	Теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости и неустойчивости по первому приближению для периодических систем. Критерий локализации корней полиномов внутри единичного круга.	
Тема 8	Орбитальная устойчивость, теоремы Ляпунова и Пуанкаре.	
Тема 9	Устойчивость линейных гамильтоновых систем. Примеры локализации корней полиномов на мнимой оси и на единичной окружности.	
Тема 10	Критический случай одного нулевого корня и его связь с ветвлением стационарных решений.	
Тема 11	Критический случай пары чисто мнимых корней и его связь с рождением периодических решений.	
Тема 12	Особенный случай нескольких нулевых корней и его связь с наличием семейств стационарных решений. 	
Тема 13	Устойчивость положений равновесия консервативных голономных систем. Теорема Лагранжа и понятие о ее обращении. Коэффициенты устойчивости и степень неустойчивости по Пуанкаре.	
Тема 14	Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость положений равновесия. Теоремы Кельвина-Четаева, вековая и временная устойчивость.	
Тема 15	Устойчивость стационарных движений консервативных голономных систем с циклическими координатами. Теорема Рауса и понятие о ее обращении.	
Тема 16	Устойчивость относительных равновесий обобщенно-консервативных голономных систем. Соответствие относительных равновесий и стационарных движений и соотношение условий их устойчивости.	
Тема 17	Ветвление положений равновесия и стационарных движений. Бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла.	
Тема 18	Стационарные движения динамических систем с первыми интегралами. Теорема Рауса и понятие о ее обращении.	
Тема 19	Инвариантные множества динамических систем с первыми интегралами. Теорема об устойчивости и понятие о ее обращении.	
Тема 20	Стационарные движения и инвариантные множества диссипативных динамических систем с первыми интегралами. Теоремы об устойчивости, частичной асимптотической устойчивости  и неустойчивости.	
Тема 21	Стационарные движения и инвариантные множества консервативных механических систем с симметрией. Теоремы об устойчивости и понятие об их обращении.	
Тема 22	Стационарные движения и инвариантные множества диссипативных механических систем с симметрией. Теоремы об устойчивости, частичной асимптотической устойчивости  и неустойчивости.	
Тема 23	Обобщенные диаграммы Пуанкаре-Четаева, Андронова-Хопфа и Смейла.	
Тема 24	Устойчивость точек либрации в плоской круговой ограниченной задаче трех тел.	
Тема 25	Устойчивость относительных равновесий и стационарных движений физического маятника с вращающейся осью подвеса.	
Тема 26	Устойчивость стационарных движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случаях Эйлера и Лагранжа.	
Тема 27	Устойчивость относительных равновесий спутника на круговой орбите.	
Тема 28	Устойчивость и бифуркация стационарных движений гантели Белецкого.	
Тема 29	Устойчивость и бифуркация стационарных движений волчка «тип-топ».	
Тема 30	Устойчивость перманентных вращений «кельтского камня».	
Тема 31	Устойчивость и бифуркация инвариантных множеств в задаче Горячева-Чаплыгина.	
Тема 32	Устойчивость верхнего положения равновесия математического маятника с вибрирующей точкой подвеса.	

5.	Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.
Вопросы к экзамену соответствуют темам курса, изложенным в п. 4. Экзаменационный билет состоит из двух вопросов из списка экзаменационных вопросов и задачи.
Примеры экзаменационных задач:
1. Найти степень неустойчивости Пуанкаре относительных равновесий спутника на круговой орбите.
2. Построить бифуркационные диаграммы Смейла в задаче об относительных равновесиях физического маятника на вращающейся вокруг вертикали оси подвеса.
3. Построить буфуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева в задаче о стационарных движениях физического маятника на оси, которая может вращаться вокруг вертикали.
4. Исследовать устойчивость нулевого решения системы .
5. Исследовать устойчивость нулевого решения системы .

Примеры экзаменационных билетов:
Билет № 1.
1.	Теорема Четаева о неустойчивости.
2.	Теорема Рауса об устойчивости стационарных движений консервативных голономных систем с циклическими координатами.
3.	Задача: Найти степень неустойчивости Пуанкаре относительных равновесий спутника на круговой орбите.

Билет № 2.
1.	Теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости.
2.	Теоремы Кельвина-Четаева.
3.	Задача: Построить буфуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева в задаче о стационарных движениях физического маятника на оси, которая может вращаться вокруг вертикали.
6.	Ресурсное обеспечение:
•	Перечень основной учебной литературы:
1.	Н.Г. Четаев Устойчивость движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1946.
2.	Б.П. Демидович Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
3.	Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.
4.	В.Н. Рубановский, В.А. Самсонов Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988.
5.	А.В. Карапетян Устойчивость стационарных движений. М.: УРСС, 1998.
•	Перечень дополнительной учебной литературы:
1.	А.М. Ляпунов Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Изд-во ХМЩ, 1892.
2.	Н.Н. Красовский Некоторые задачи устойчивости движения. М.: Физматлит, 1959.
3.	И.Г. Малкин Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.
4.	В.И. Зубов Устойчивость движения. М.-А.: Высшая школа, 1973.
5.	Э. Джурн Инно и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979.
6.	В.В. Румянцев, А.С. Озиранен Устойчивость и стабилизация движения по части переменных. М.: Наука, 1987.
7.	С. Смейл Топология и механика // Успехи математических наук. 1972. Т. 27. № 2. С. 77-120.
•	Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»:
http://www.theormech.math.msu.su/Obuchenie/index.htm: А.В. Карапетян Инвариантные множества динамических систем.