ПРИЛОЖЕНИЕ

1.	Избранные задачи механики: Случайные колебания
2.	Преподаватель: доцент Антонов Игорь Леонидович
3.	Аннотация курса: В спецкурсе обсуждаются свойства фазовых траекторий колебательных систем, подверженных действию случайных возмущений. В качестве модели случайного возмущения рассматривается случайный процесс, реализации которого являются кусочно постоянными на заданных интервалах функциями времени, а множество значений образует стационарную марковскую цепь. Подобная модель случайного процесса допускает простое определение решения дифференциального уравнения со случайными возмущениями. Доказывается, что при ограниченных по модулю  случайных воздействиях фазовые траектории рассматриваемых систем с вероятностью единица рано или поздно выйдут за пределы круга сколь угодно большого радиуса. Сравнивается поведение рассматриваемых систем при наличии периодических или случайных воздействий.
4.	Тематическое содержание курса:

Тема 1	Введение в элементарную теорию колебаний.	
Тема 2	Понятие резонанса в случае (внешнего или параметрического) периодического возмущения.	
Тема 3	Построение модели случайного возмущения, используемой в спецкурсе.	
Тема 4	Описание основных свойств случайных последовательностей, представляющих собой марковские цепи.	
Тема 5	Теорема о существовании стационарного распределения для марковской цепи с конечным числом состояний.	
Тема 6	Усиленный закон больших чисел для стационарной марковской цепи.	
Тема 7	Пример марковской цепи с бесконечным числом состояний. Определение свойств возвратности и невозвратности марковской цепи.	
Тема 8	Линейный осциллятор с внешним случайным возмущением. Определение решения дифференциального уравнения, содержащего случайный процесс.	
Тема 9	Сведение поставленной задачи к исследованию возникшей трехмерной марковской цепи, определение фазового пространства этой цепи, и доказательство его неразложимости.	
Тема 10	Переход к эквивалентной одномерной марковской цепи и доказательство ее возвратности.	
Тема 11	Доказательство нестационарности процесса на  выходе линейного осциллятора, возмущаемого стационарной случайной силой. Формула А.А.Свешникова.	
Тема 12	Линейный осциллятор с параметрическим случайным возмущением. Решение уравнения, переход к соответствующей марковской цепи.	
Тема 13	Доказательство невозвратности фазовых траекторий рассматриваемой системы.	
Тема 14	Сравнение поведения фазовых траекторий линейного осциллятора с внешним или периодическим возмущением в случаях, когда это возмущение периодическое или случайное.	
Тема 15	Обсуждение возможности применения предлагаемых методов к нелинейной колебательной системе (уравнение Дуффинга).	
Тема 16	Продолжение темы 15.	
Тема 17*	Обсуждение возможности применения предлагаемых методов к задачам о динамической устойчивости упругого стержня, нагруженного продольной случайной силой и к задаче о колебаниях жидкости в цилиндрическом сосуде, совершающем случайные колебания вдоль оси сосуда.	
* - если специальный курс читается в нечетном семестре (продолжительность нечетного семестра 18 недель, четного семестра 17 недель).

5.	Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.
Вопросы к экзамену формируются в соответствии с рассмотренными в ходе чтения спецкурса темами. Экзаменационный билет состоит из двух вопросов из списка экзаменационных вопросов.
Примеры экзаменационных билетов:
Билет № 1.
1.	Решение системы уравнений линейного осциллятора с внешним возмущением с использованием матричной экспоненты.
2.	Теорема о существовании стационарного распределения для марковской цепи с конечным числом состояний.
Билет № 2.
1.	Границы областей неустойчивости для уравнения Мейсснера.
2.	Вывод формулы А.А.Свешникова.

6.	Ресурсное обеспечение:
•	Перечень основной учебной литературы:
1.	Антонов И.Л. Случайные колебания. Свойства траекторий. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993.
2.	Нуммелин Э. Общие неприводимые цепи Маркова и неотрицательные операторы. М.: Мир, 1989.
3.	Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. М.: Изд-во иностр. лит., 1956.
4.	И.Л.Антонов Применение теории марковских цепей в задаче о динамической устойчивости упругого стержня // ПММ. Т. 77. Вып. 2. 2013.
5.		Свешников А.А., Ривкин С.С.  Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов. М.: Наука, 1974.
•	Перечень дополнительной учебной литературы:
1.	Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979.
2.	Вибрации в технике, т. 1. Колебания линейных систем / под. ред. Болотина В.В. М.: Машиностроение, 1978.