ПРИЛОЖЕНИЕ

1.	Спецкурс программы аспирантуры, полугодовой: Дополнительные главы теоретической механики
2.	Преподаватель: профессор Зубелевич Олег Эдуардович
3.	Аннотация курса: Спецкурс является естественным продолжением стандартного курса теоретической механики, читаемом на отделении механики механико-математического факультета МГУ. В курсе развивается ряд классических тем (неголономная механика, теория возмущений, эргодическая теория), но на более подробном уровне, иногда вплоть до результатов, полученных в последние годы. В частности, доказывается теорема Фробениуса и обсуждаются ее приложения к механике неголономных систем и геометрии римановых многообразий. Теория удара излагается на основе результатов, полученных в последние годы на основе лагранжева формализма. Теория интеграла Пуанкаре излагается с общих позиций теории возмущений для систем общего вида, не только гамильтоновых.
4.	Тематическое содержание курса:

Тема 1	Основные понятия теории гладких динамических систем. Векторные поля на многообразиях, положения равновесия, периодические решения, коммутатор векторных полей. Тензоры, производная Ли.	
Тема 2	Группы симметрий. Распределения на многообразии.	
Тема 3	Понятие о разрешимости группы, теорема Ли об интегрируемости системы с разрешимой группой симметрий.	
Тема 4	Теорема Фробениуса. Теорема Майера-Фробениуса.	
Тема 5	Приложения к неголономным системам.	
Тема 6	Обобщенные решения уравнений динамики и их связь с вариационными принципами динамики.	
Тема 7	Лагранжева теория удара, удары в неголономных системах.	
Тема 8	Задача об ударе шара о плоскость в отсутствие проскальзывания.	
Тема 9	Периодические по времени системы с одной степенью свободы. Интеграл Пуанкаре.	
Тема 10	Доказательство теоремы об интеграле Пуанкаре.	
Тема 11	Элементы эргодической теории. Системы с инвариантной мерой, теорема Лиувилля. Теорема Пуанкаре о возвращении.	
Тема 12	Три эквивалентные определения эргодичности. Доказательство эквивалентности, примеры.	
Тема 13	Теорема Биркгофа-Хинчина и эргодическая теорема Иосиды. Доказательство эргодической теоремы Иосиды.	
Тема 14	Бесконечномерная теорема Массера и ее связь с эргодической теорией. Доказательство теоремы Массера.	
Тема 15	Приложения к динамике линейно упругого тела.	

5.	Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.
Список экзаменационных вопросов соответствует темам курса, изложенным в п. 4. Экзаменационный билет состоит из двух вопросов из списка экзаменационных вопросов и одной задачи.

Примеры экзаменационных задач:
1. Задача об ударе саней Чаплыгина о стену.
2. Ввести подходящим образом малый параметр в задаче о двойном маятнике, выполнить понижение порядка по Уитеккеру, обнаружить явление расщепления асимптотических поверхностей.
3. Доказать эргодичность квазипериодического потока на торе.
4. Доказать, что динамическая система с одной степенью свободы и склерономными идеальными связями голономна.

Примеры экзаменационных билетов:
Билет № 1.
1.	Теорема Фробениуса.
2.	Группы симметрий. Распределения на многообразии.
3.	Задача: Доказать, что динамическая система с одной степенью свободы и склерономными идеальными связями голономна.
Билет № 2.
1.	Доказательство эргодической теоремы Иосиды.
2.	Обобщенные решения уравнений динамики и их связь с вариационными принципами динамики.
3.	Задача: Шайба (круглый однородный тонкий диск массы m и радиуса r) скользит без трения по льду в хоккейной коробке. В какой-то момент шайба ударяется о борт. Скорость центра шайбы и её угловая скорость до удара, а также коэффициент сухого трения шайбы о борт известны. Найти угловую скорость шайбы и скорость её центра после удара. Считать, что потери энергии в задаче могут происходить только за счёт силы трения.

6.	Ресурсное обеспечение:
•	Перечень основной учебной литературы:
1. В.И.Арнольд Математические методы классической механики.
2. Д.В.Трещев Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем.
3. В.И.Арнольд, В.В.Козлов, А.И.Нейштадт Математические аспекты классической и небесной механики.
4. В.И. Арнольд Дополнительные главы обыкновенных дифференциальных уравнений.
•	Перечень дополнительной учебной литературы:
1. Олвер Приложения к групп Ли к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
2. Я. Г. Синай Введение в эргодическую теорию.
3. Б.П. Демидович Лекции по математической теории устойчивости.
•	Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»:
http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ode.pdf Gerald Teschl OrdinaryDifferential Equations and Dynamical Systems