ПРИЛОЖЕНИЕ

1.	Спецкурс программы аспирантуры, полугодовой: Специальные вопросы аналитической механики
2.	Преподаватель: профессор Кугушев Евгений Иванович
3.	Аннотация курса: Спецкурс посвящен вопросам аналитической механики классических и управляемых механических систем, выходящим за рамки стандартных курсов. В спецкурсе рассматриваются специальные задачи небесной механики, в частности, движение твердого тела в центральном гравитационном поле с учетом спутникового приближения гравитационного потенциала.  Излагаются основы геометрических аспектов механики, основанные на групповых методах (группы и алгебры Ли, группы симметрий, группы вращений). Рассматриваются основные принципы и методы динамики управляемых систем, основанные на принципе максимума Понтрягина и теории регулярного синтеза. Эти методы сопоставляются с методом динамического программирования, уравнением Беллмана. Даются элементы теории дискретных и дифференциальных игр. Также рассматривается динамика систем с односторонними связями и ударами. Формулируется принцип Даламбера-Лагранжа для таких систем, из которого выводится лагранжева теория удара.
4.	Тематическое содержание курса:

Тема 1	Элементы орбиты в задаче Кеплера и задаче двух тел.	
Тема 2	Уравнение движения возмущенного движения в оскулирующих элементах.	
Тема 3	Гравитационный потенциал и его спутниковое приближение.	
Тема 4	Уравнения движения в центральном гравитационном поле и их первые интегралы.	
Тема 5	Динамика твердого тела в центральном гравитационном поле, ограниченная постановка, относительные равновесия.	
Тема 6	Групповые методы механики Группы и алгебры Ли, ряды Ли и Хаусдорфа.	
Тема 7	Групповые инварианты и собственные функции, уравнения Пуанкаре.	
Тема 8	Группы вращений, кватернионы.	
Тема 9	Динамика управляемых систем, существование решения в оптимальных задачах, скользящие режимы.	
Тема 10	Принцип максимума Понтрягина, регулярный синтез.	
Тема 11	Метод динамического программирования, уравнение Беллмана.	
Тема 12	Элементы теории дискретных и дифференциальных игр.	
Тема 13	Динамика систем с односторонними связями и ударами, принцип Даламбера-Лагранжа для односторонних связей, лагранжева теория удара.	
Тема 14	Основные законы теории удара,  удар твердого тела о поверхность, соударение двух тел.	
Тема 15	Математические и динамические бильярды, геометрическая теорема Пуанкаре и теорема Биркгофа о периодических движениях.	

5.	Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.
Список экзаменационных вопросов соответствует темам курса, изложенным в п. 4. Экзаменационный билет состоит из двух вопросов из списка экзаменационных вопросов и одной задачи.
Примеры экзаменационных задач:
1. Решить задачу о повороте плоскости орбиты методом импульсной коррекции.
2. Описать в кватернионах регулярную прецессию твердого тела.
3. Наклонение орбиты спутника составляет 45 градусов. В какой точке орбиты и какой корректирующий импульс нужно приложить к спутнику, чтобы наклонение орбиты стало равным 30 градусов, а остальные параметры орбиты не изменились?
4. Выписать уравнения Пуанкаре в плоской задаче Кеплера для случая, когда в плоскости движения действует группа сдвигов вдоль фиксированного направления и поворотов вокруг притягивающего центра.
5. Используя принцип максимума Понтрягина и уравнение Беллмана, найти свойства оптимального по времени управления движением точки на прямой в случае, когда управляющая сила по величине не превосходит заданного порога, зависящего от положения точки.

Примеры экзаменационных билетов:
Билет № 1.
1.	Гравитационный потенциал и его спутниковое приближение.
2.	Метод динамического программирования, уравнение Беллмана.
3.	Построить функцию Беллмана для материальной точки, движущегося по прямой под действием управляющей силы, ограниченной по модулю заданной константой.
Билет № 2.
1.	Групповые инварианты и собственные функции, уравнения Пуанкаре.
2.	Основные законы теории удара, удар твердого тела о поверхность, соударение двух тел.
3.	Описать движение тонкого однородного кольца радиуса R, движущегося по инерции по горизонтальной плоскости и нанизанного на неподвижный вертикальный цилиндр радиуса a < R. Удары кольца о цилиндр считать абсолютно упругими.

6.	Ресурсное обеспечение:
•	Перечень основной учебной литературы:
1.	Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е И., Трещев Д.В. Теоретическая механика. М.: Академия. 2010.
2.	Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит, 2008.
3.	Александров В.В., Лемак С.С., Парусников Н.А. Лекции по механике управляемых систем. М.: МАКС пресс, 2012.
4.	Охоцимский Д.Е. Динамика космических полетов. М.: МГУ, 1968. 160 с.
•	Перечень дополнительной учебной литературы:
1.	Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.
2.	Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 480 с.
3.	Биркгоф Дж. Динамические системы. Ижевск: НИЦ "РХД", 1999. 408 с.