Программа экзамена по курсу «Теоретическая механика»
для студентов 2-го, 3-го курса отделения механики
Лектор: профессор Е.И. Кугушев

3 семестр
Введение
- Предмет теоретической механики. Основные понятия (пространство, время, система отсчёта) и модели теоретической механики (материальная точка, абсолютно твёрдое тело, механическая система). Кинематика, статика и динамика механической системы.
Кинематика точки
- Закон движения, траектория, скорость и ускорение точки. Скорость и ускорение при движении точки по окружности. 
- Движение точки по кривой. Естественный трехгранник. Проекции скорости и ускорения на оси естественного трёхгранника (на касательную и главную нормаль). Соприкасающаяся плоскость и соприкасающаяся окружность. Выражение кривизны пространственной кривой через скорость и ускорение.
- Скорость и ускорение точки в криволинейной системе координат – формула Лагранжа.
Кинематика твердого тела
-  Теорема Эйлера-Шаля о конечных перемещениях твердого тела.
- Мгновенная угловая скорость твердого тела. Формулы Пуассона. Формула Эйлера для распределения скоростей в твердом теле.
- Формула Ривальса для распределения ускорений в твердом теле, Вращательное и осестремительное ускорения.
- Распределение скоростей и ускорений при поступательном движении твердого тела и при вращении вокруг неподвижной оси. 
- Мгновенная ось винта при общем движении твердого тела. Мгновенная ось вращения твёрдого тела с неподвижной точкой.
- Плоско-параллельное движение. Мгновенный центр скоростей. Подвижная и неподвижная центроиды. Качение без проскальзывания.
- Подвижный и неподвижный аксоиды при общем движении твердого тела.  Качение без проскальзывания.
Относительное движение
- Относительное движение точки. Абсолютная, относительная, переносная скорости точки. Теорема о сложении скоростей в относительном движении. Связь абсолютной и относительной производных вектора.
- Абсолютное, относительное, переносное,  кориолисово ускорение точки. Теорема о сложении  ускорений в сложном движении. Ускорение точки в системе координат, равномерно вращающейся вокруг неподвижной оси.
- Относительное движение твёрдого тела. Сложение угловых скоростей в относительном движении твердого тела. Углы Эйлера. Выражение угловой скорости через углы Эйлера и их производные - кинематические формулы Эйлера. Регулярная прецессия твердого тела с неподвижной точкой.
Ньютонова  механика точки
- Принцип детерминизма. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея. Второй закон Ньютона. Суперпозиция сил,
Динамика материальной точки на прямой
- Движение точки по прямой под действием силы, зависящей только от положения. Потенциальность сил. Закон сохранения энергии и понятие о первых интегралах движения. Области возможности движения. Период колебаний в потенциальной яме. 
- Линеаризация уравнений движения в окрестности положения равновесия. Малые колебания. Асимптотика периода колебаний в окрестности точки невырожденного минимума потенциальной энергии.
- Фазовый портрет в окрестности невырожденного устойчивого и неустойчивого равновесия (центр, седло), сепаратриса. Понятие о фазовом портрете в общем случае.
- Фазовые портреты для гармонического осциллятора с вязким трением в невырожденных случаях (невырожденный узел, фокус). Вынужденные колебания гармонического осциллятора. Явление частотного резонанса.
Динамика свободной материальной точки
- Импульс точки, кинетический момент и кинетическая энергия.
- Теоремы об изменении импульса, кинетического момента и кинетической энергии точки в инерциальной системе отсчёта. Законы сохранения импульса, кинетического момента и полной механической энергии.
- Работа силы на перемещении. Потенциальные силы. Силовая функция и потенциальная энергия. Силовые функции ньютоновского тяготения, электростатического взаимодействия, упругой силы. 
- Движение точки в центральном поле сил. Первые интегралы: энергии и площадей. Секторная скорость.
- Вид области возможного движения в потенциальной яме. Сведение к квадратурам (интегрирование уравнений движения). Апсидальный угол. 
- Задача Кеплера - движение точки в центральном гравитационном поле. Вывод формулы для гравитационной силы из законов Кеплера. Закон всемирного тяготения. Гравитационный потенциал однородного шара.
- Первые интегралы задачи Кеплера: энергии и площадей. Вектор (интеграл) Лапласа.
- Классификация движений в задаче Кеплера: эллиптическое, параболическое, гиперболическое. Первая и вторая космические скорости. 
- Уравнение Кеплера для эллиптического движения.
Динамика несвободной материальной точки
- Геометрические (голономные) связи. Движение точки по поверхности и кривой. Конфигурационное многообразие, касательное пространство. 
- Принцип освобождения от связей. Заданные силы и реакции связей. Нормальная реакция, касательная реакция (сила трения). Реакция идеальной связи. 
- Уравнения Лагранжа первого рода, определение нормальной реакции.
- Теоремы об изменении импульса, кинетического момента и кинетической энергии точки при наличии связей.
- Уравнения движения точки по кривой в проекциях на оси естественного трехгранника. Определение реакции как функции от положения точки на кривой в консервативном случае.
- Математический маятник. Уравнение движения. Фазовый портрет. Период малых колебаний.
- Сферический маятник. Первые интегралы. Редукция к одномерному случаю. Стационарные движения.
Динамика материальной точки в неинерциальной системе координат
- Движение точки по отношению к неинерциальной системе отсчёта: переносная и кориолисова силы инерции. Теорема об изменения кинетической энергии. Потенциальность переносных сил инерции. Обобщённый интеграл энергии. 
- Уравнения движения материальной точки в системе равномерно вращающейся вокруг неподвижной оси.
- Математический маятник в равномерно вращающейся системе координат. Перестройка фазового портрета. 
- Равновесие материальной точки на Земле, вес, астрономическая и географическая широта. Падение материальной точки на Землю с учётом вращения Земли.
- Маятник Фуко.

4 семестр
Динамика системы свободных точек
- Основные понятия динамики системы материальных точек: центр масс, импульс, кинетический момент, кинетическая энергия. Внешние и внутренние силы. Силовая функция, потенциальная энергия.
- Теоремы об изменении импульса, кинетического момента и кинетической энергии. Теорема о движении центра масс системы. Законы сохранения импульса, кинетического момента и полной механической энергии системы. 
- Оси Кёнига. Формулы Кёнига для кинетического момента и кинетической энергии.  Теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии в осях Кёнига. 
- Задача двух тел и ее сведение к Задаче Кеплера. Задача n тел. Ее первые интегралы: импульса, энергии и кинетического момента. Устойчивость по Якоби. Теорема Якоби о необходимом условии устойчивости.
- Ограниченная плоская круговая задача трех тел. Уравнения движения. Относительные положения равновесия: коллинеарные точки либрации Эйлера, треугольные точки либрации Лагранжа.
Учение о связях
- Геометрические связи, конфигурационное пространство, обобщенные координаты, число степеней свободы системы. Голономные и неголономные (неинтегрируемые) связи, число степеней свободы системы. Неголономность конька Чаплыгина. Стационарные связи. Виртуальные и действительные перемещения. 
- Аксиома освобождения от связей. Реакции связей. Элементарная работа. Идеальные связи. Принцип Даламбера-Лагранжа. Уравнения Лагранжа 1-го рода (уравнения Лагранжа с множителями). Определение реакций. Идеальность связей, в твердом теле. 
Аналитическая статика
- Положение равновесия. Принцип виртуальных перемещений. Условия равновесия для систем с потенциальными силами. Принцип Торричелли (равновесие в однородном поле тяжести).  Условия равновесия свободного твердого тела.
Общие теоремы динамики для систем со связями
- Теорема об изменении импульса для систем со связями. Движение центра масс. Закон сохранения импульса.  
- Теорема об изменении кинетического момента для систем со связями. Закон сохранения кинетического момента. Теорема об изменении кинетического момента для свободной системы материальных точек.
- Теорема об изменении кинетической энергии для систем со связями. Работа сил. Потенциальные силы. Закон сохранения энергии. Теорема об изменении кинетической энергии для свободной системы материальных точек.
Динамика твёрдого тела
- Момент инерции твердого тела относительно оси. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Неравенство треугольника.
- Оператор инерции твердого тела. Кинетическая энергия и кинетический момент твердого тела с неподвижной точкой и свободного твердого тела. Связь с моментом инерции относительно оси. Матрица оператора инерции и ее изменение при замене координат. Тензор инерции. Главные оси инерции твердого тела. Эллипсоид инерции.
- Уравнения движения свободного твёрдого тела. Понятие эквивалентности систем сил, действующих на твёрдое тело. Приведение системы сил к точке, результирующая сила и суммарный момент. Приведение сил тяжести к центру масс тела. Условия равновесия твердого тела под действием внешних сил и моментов.
- Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси, условия балансировки. Физический маятник. Приведённая длина и центр качания. Теорема Гюйгенса о взаимных центрах качания.
- Тяжелое твёрдое тело с неподвижной точкой. Уравнения Эйлера-Пуассона и их первые интегралы. 
- Случай Эйлера. Первые интегралы, интегрирование уравнений движения в квадратурах. Фазовый портрет динамических уравнений Эйлера. Перманентные (стационарные) вращения и их устойчивость. Регулярная прецессия в динамически симметричном случае. Геометрическая интерпретация Пуансо.. 
- Случай Лагранжа. Первые интегралы. Редукция к одномерному движению. Фазовый портрет приведенной системы. След оси динамической симметрии на сфере. 
- Спящий волчок, условие устойчивости Маиевского.
- Приближенная теория гироскопа.
- Движение твёрдого тела по горизонтальной плоскости, уравнения Эйлера-Ньютона. Модели идеально гладкой и абсолютно шероховатой плоскостей, модель сухого трения скольжения. Движение однородного шара по горизонтальной плоскости с сухим трением.
Уравнения Лагранжа 2-го рода
- Уравнения Лагранжа второго рода. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно старших производных. Обобщенные силы. Принцип Даламбера-Лагранжа в обобщенных координатах.
- Случай потенциальных сил, лагранжиан. Первые интегралы уравнений Лагранжа: обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби), циклические координаты и циклические интегралы. 
- Понижение порядка системы по Раусу. 
Неголономная механика
- Неголономные связи. Уравнения Лагранжа 2-го рода с неопределенными множителями. Задача о качении обруча по плоскости.
- Принцип наименьшего принуждения Гауса. 
- Уравнения движения неголономных систем в форме Аппеля. Задача о неголономной точке.
Вариационные принципы. Симметрии.
- Поле симметрий. Теорема Нётер о первых интегралах.
- Вариационные принципы. Функционал действия и его вариация. Принцип Гамильтона. Метрика Якоби. Вариация по Гамильтону и по Мопертюи-Якоби. Принцип Мопертюи-Якоби.

5 семестр
Устойчивость положений равновесия. Малые колебания.
- Устойчивость и асимптотическая устойчивость состояний равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений по Ляпунову. Функция Ляпунова, Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости (формулировка). Теорема Красовского о неустойчивости (формулировка).
- Положения равновесия натуральных лагранжевых систем. Теорема Лагранжа-Дирихле.
- Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия. Нормальные координаты. Уравнения малых колебаний. 
- Экстремальные свойства собственных значений. Поведение собственных чисел при наложении связи. Поведение собственных чисел при изменении жесткостных или инерционных характеристик. 
- Диссипативные и гироскопические силы. Диссипативность сил Релея. Теоремы Кельвина-Четаева о асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия при наложении диссипативных и гироскопических сил.
- Четность характеристического полинома линеаризованных уравнений при наличии гироскопических сил. Парность корней характеристического уравнения. Формулировка теоремы Ляпунова о неустойчивости по первому приближению. 
- Степень неустойчивости. Теорема о невозможности гироскопической стабилизации, если степень неустойчивости нечетна. 
Инвариантная мера
- Инвариантная мера. Мера с гладкой плотностью. Плотность при замене координат. Теорема Лиувилля об инвариантной мере. Существование инвариантной меры на многообразии уровней первых интегралов.
- Теорема Пуанкаре о возвращении. 
- Интегрируемость в квадратурах. Теорема Якоби о последнем множителе. 
- Твердое тело с неподвижной точкой. Инвариантная мера уравнений Эйлера-Пуассона и интегрируемость в квадратурах. 
Гамильтонова механика
- Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа. Канонические переменные. Уравнения Гамильтона для натуральных механических систем.
- Свойства уравнений Гамильтона: интеграл энергии; циклические интегралы и понижение порядка в уравнениях Гамильтона. Инвариантная мера уравнений Гамильтона (теорема Лиувилля о сохранении фазового объема). Инвариантная мера уравнений Лагранжа.
- Преобразование Лежандра, и его свойства. 
- Вариационный принцип Гамильтона в фазовом пространстве. 
- Лемма об аннуляторе канонической 2-формы. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Интегральный инвариант Пуанкаре. Инвариантность канонической 2-формы при сдвиге по траекториям.
- Канонические преобразования. Свободные канонические преобразования. Производящая функция. Производящая функция тождественного преобразования. 
- Понижение порядка по Уиттекеру. Автономизация системы.
- Уравнение Гамильтона-Якоби. Его полный интеграл. Разрешимость канонических уравнений Гамильтона в квадратурах. Метод разделения переменных при отыскании полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
- Маятник с вертикально вибрирующей точкой подвеса.
- Симплектические многообразия. Теорема Дарбу (формулировка). Гамильтоново векторное поле. Скобка Пуассона и ее свойства. Тождество Якоби. Теорема Пуассона о первых интегралах.
- Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах.  
- Переменные действие-угол (Общее понятие). Переменные действие-угол для систем с одной степенью свободы. Переменные действие-угол для гармонического осциллятора.