Программа экзамена по курсу «Теоретическая механика»
для студентов 2-го, 3-го курса отделения механики
Лектор: профессор А.В. Карапетян

3 семестр
1.	Предмет классической механики. Аксиомы динамики. Принцип детерминированности.
2.	Закон движения, траектория, скорость и ускорение точки. Скорость и ускорение точки в цилиндрической и сферической системах координат.
3.	Угловая скорость подвижного репера. Формулы Пуассона. Угловая скорость репера Френе.
4.	Способы задания движения твердого тела. Угловая скорость. Формулы Эйлера и Ривальса.
5.	Сложное движение точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений.
6.	Поступательное, вращательное (вокруг неподвижной оси) и плоско-параллельное движения тела. Мгновенный центр скоростей и центроиды.
7.	Твердое тело с неподвижной точкой. Мгновенная ось вращения и аксоиды.
8.	Свободное твердое тело. Мгновенная винтовая ось.
9.	Сложное движение твердого тела. Теорема сложения угловых скоростей. Кинематические формулы Эйлера.
10.	Уравнения движения материальной точки. Уравнения в проекциях на естественные оси.
11.	Работа силы на перемещении точки, мощность силы. Классификация сил. Потенциальная энергия.
12.	Импульс, кинетический момент и кинетическая энергия точки. Теоремы об изменении и законы сохранения импульса и кинетического момента. Теорема об изменении кинетической энергии и закон сохранения полной механической энергии.
13.	Движение точки под действием центральной силы. Свойства движения. Интеграл площадей.
14.	Эмпирические законы Кеплера. Вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера.
15.	Движение точки в центральном гравитационном поле (задача Кеплера): определение орбит, первая и вторая космические скорости.
16.	Движение точки в центральном гравитационном поле по эллиптической орбите: уравнение Кеплера и определение закона движения.
17.	Движение точки по поверхности и по кривой. Принцип освобождения и реакции связей. Реакции идеальных связей. Теорема об изменении кинетической энергии и интеграл энергии.
18.	Одномерное движение точки в консервативном поле сил. Квадратуры и фазовые портреты. Области возможности движения. Период колебаний в потенциальной яме. Малые колебания.
19.	Математический маятник.
20.	Сферический маятник.
21.	Относительное движение точки. Переносная и кориолисова силы инерции. Закон изменения кинетической энергии и обобщенный интеграл энергии.
22.	Математический маятник во вращающейся системе координат. Перестройка фазового портрета.
23.	Равновесие материальной точки на Земле. Вес.
24.	Падение материальной точки на Землю.
25.	Маятник Фуко.
26.	Основные понятия динамики системы: центр масс, импульс, кинетический момент и кинетическая энергия. Оси Кенига и формулы Кенига.
27.	Внешние и внутренние силы. Общие теоремы динамики свободных систем в неподвижной системе координат и в осях Кенига.
28.	Задача двух тел и ее сведение к задаче Кеплера. Уточнение законов Кеплера.
29.	Основные положения динамики несвободных систем. Голономные и неголономные связи.
30.	Виртуальные и действительные перемещения. Реакции связей. Идеальные связи. Принцип Даламбера-Лагранжа. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями.
31.	Общие теоремы динамики систем со связями.
32.	Момент инерции тела относительно оси. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Осевые и центробежные моменты инерции. Тензор и эллипсоид инерции. Главные оси и моменты инерции.
33.	Импульс, кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела.
34.	Уравнения движения свободного твердого тела. Понятие об эквивалентности систем сил, действующих на твердое тело. Приведение сил тяжести к центру масс тела.
35.	Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Теорема Гюйгенса.
36.	Плоско-параллельное движение тела. Диск на наклонной прямой.
37.	Движение твердого тела с неподвижной точкой по инерции (волчок Эйлера): квадратуры и фазовый портрет.
38.	Волчок Эйлера: геометрическая интерпретация Пуансо.
39.	Перманентные вращения произвольного и регулярные прецессии осесимметричного волчка Эйлера.
40.	Тяжелое твердое тело с неподвижной точкой. Уравнения  Эйлера-Пуассона и их первые интегралы.
41.	Волчок Лагранжа: редукция к одномерному движению и квадратуры.
42.	Волчок Лагранжа: геометрическая интерпретация Пуассона.
43.	Волчок Лагранжа: равномерное вращение вокруг вертикально расположенной оси симметрии. Условие Маиевского.
44.	Волчок Ковалевской: первые интегралы.
45.	Перманентные вращения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Конус Штауде.
46.	Движение однородного шара на горизонтальной плоскости.

4 семестр
1.	Переменные Лагранжа (обобщенные координаты и скорости) и обобщенные силы.
2.	Кинетическая энергия в переменных Лагранжа, ее структура и свойства.
3.	Принцип Даламбера-Лагранжа и уравнения Лагранжа второго рода.
4.	Инвариантность уравнений Лагранжа относительно замены координат и при калибровочных преобразованиях лагранжиана.
5.	Классификация обобщенных сил. Консервативные системы: интеграл энергии и движение по инерции.
6.	Малые колебания консервативной системы около положения равновесия.
7.	Уравнения Лагранжа для относительных движений. Обобщенно-консервативные системы и обобщенный интеграл энергии.
8.	Малые колебания обобщенно-консервативной системы около относительного положения равновесия.
9.	Уравнения Рауса.
10.	Циклические координаты и интегралы. Метод Рауса игнорирования циклических переменных.
11.	Малые колебания консервативной системы с циклическими координатами около стационарного движения.
12.	Уравнения движения неголономных систем с неопределенными множителями.
13.	Неголономные системы Чаплыгина и уравнения Чаплыгина.
14.	Принцип Гаусса.
15.	Уравнения Аппеля.
16.	Теорема Нетер.
17.	Принцип Гамильтона-Остроградского.
18.	Принцип Мопертюи-Лагранжа-Якоби.
19.	Уравнения Якоби.
20.	Основные понятия теории устойчивости.
21.	Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости для систем общего вида.
22.	Теорема Четаева и теоремы Ляпунова о неустойчивости для систем общего вида.
23.	Теоремы Ляпунова и Четаева для стационарных систем.
24.	Теоремы Барбашина-Красовского и Красовского (без доказательства).
25.	Теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости и неустойчивости по первому приближению (леммы - без доказательства).
26.	Критерии Рауса-Гурвица и Романова (без доказательства).
27.	Теорема Лагранжа-Дирихле и понятие о ее обращении. Коэффициенты устойчивости и степень неустойчивости Пуанкаре.
28.	Теоремы Кельвина-Четаева.
29.	Теорема Рауса-Сальвадори и понятие о ее обращении.
30.	Плоская круговая ограниченная задача трех тел: уравнения движения и точки либрации.
31.	Устойчивость треугольных точек либрации (в первом приближении).
32.	Устойчивость перманентных вращений волчка Эйлера.
33.	Относительные равновесия физического маятника, ось подвеса которого равномерно вращается вокруг вертикали: существование, устойчивость и ветвление.
34.	Конек Чаплыгина на горизонтальной плоскости.
35.	Конек Чаплыгина на наклонной плоскости.
36.	Плоская задача Кеплера в декартовых координатах: группа симметрий и интеграл Нетер.

5 семестр
1.	Основные положения динамики несвободных систем. Голономные и неголономные связи. Действительные и виртуальные перемещения.
2.	Аксиома освобождения от связей. Идеальные связи. Принцип Даламбера - Лагранжа. Уравнения Лагранжа 1-го рода.
3.	Переменные Лагранжа, обобщенные силы и кинетическая энергия в переменных Лагранжа.
4.	Принцип Даламбера - Лагранжа в обобщенных координатах. Уравнения Лагранжа 2-го рода.
5.	Уравнения Лагранжа для консервативных систем. Движение по инерции.
6.	Уравнения движения неголономных систем в обобщенных координатах. Системы Чаплыгина и уравнения Чаплыгина.
7.	Принцип Гаусса.
8.	Уравнения Аппеля.
9.	Принцип Гамильтона-Остроградского.
10.	Принцип Мопертюи- Лагранжа - Якоби.
11.	Уравнения Якоби.
12.	Тяжелое твердое тело с неподвижной точкой. Уравнения Эйлера - Пуассона и их первые интегралы.
13.	Задача Эйлера: квадратуры и фазовый портрет.
14.	Задача Эйлера: перманентные вращения и регулярная прецессия.
15.	Задача Лагранжа: редукция к одномерному движению и квадратуры (случай общего положения).
16.	Задача Лагранжа в случае зависимых линейных интегралов. Условие Маиевского.
17.	Преобразование Лежандра. Переменные Гамильтона и функция Гамильтона.
18.	Уравнения Гамильтона и их свойства.
19.	Принцип Гамильтона в форме Пуанкаре.
20.	Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре.
21.	Интегральный инвариант Пуанкаре - Картана.
22.	Уравнения Уиттекера.
23.	Канонические преобразования и их групповые свойства.
24.	Критерии каноничности с использованием скобок Пуассона (без вывода) и Лагранжа.
25.	Критерий каноничности с использованием производящей функции.
26.	Сохранение гамильтоновой структуры при канонических преобразованиях.
27.	Канонические преобразования и процесс движения. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.
28.	Свободное каноническое преобразование и его производящая функция.
29.	Уравнение и теорема Гамильтона - Якоби.
30.	Методы интегрирования уравнения Гамильтона - Якоби для систем с циклическими координатами и консервативных систем.
31.	Методы разделения и отделения переменных интегрирования уравнения Гамильтона - Якоби.
32.	Полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби для математического маятника.
33.	Теорема Лиувилля об интегрируемости гамильтоновых систем в квадратурах.
34.	Переменные действие - угол: идея и ее реализация для линейного осциллятора.
35.	Переменные действие - угол для математического маятника (вращения).
36.	Переменные действие - угол для математического маятника (колебания).
37.	Теория возмущений: идея и ее реализация для математического маятника в окрестности устойчивого равновесия.
38.	Математический маятник с вибрирующей точкой подвеса (методом канонических преобразований)
39.	Метод усреднения. Теоремы Крылова - Боголюбова (без доказательства).
40.	Математический маятник с вибрирующей точкой подвеса в сопротивляющейся среде (методом усреднения).