Программа экзамена по курсу «Аналитическая механика» для студентов 4-го курса
Лектор: доцент В.А. Прошкин

1.	Механическая система с геометрическими связями.  Уравнения связей и их свойства, многообразие положений.
2.	Принцип детерминированности. Активные силы, силы реакции связей. Нормальная и касательная составляющие реакции связей. Идеальные связи. 
3.	Уравнения Лагранжа I рода.
4.	Принцип Даламбера-Лагранжа.
5.	Обобщенные координаты системы. Координатный базис в касательном пространстве. Уравнения Лагранжа II рода. Обобщенные силы. 
6.	Фазовое пространство системы уравнений Лагранжа. Обобщенные скорости, псевдоскорости. Уравнения Аппеля.
7.	Обобщенные силы в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа. Обобщенные импульсы, преобразование Лежандра, уравнения Гамильтона.
8.	Следствия из принципа Даламбера – Лагранжа для систем со специальными связями: не зависящими от времени, допускающими поворот, сдвиг; вытекающие из них законы сохранения.
9.	Уравнения движения свободного твердого тела: эквивалентность принципа Даламбера – Лагранжа и пары теорем о движении центра масс и об изменении кинетического момента относительно центра масс для свободного твердого тела.
10.	Преобразование уравнений Лагранжа II рода при замене обобщенных координат.
11.	Общие свойства уравнений Лагранжа II рода для систем с потенциальными силами. Калибровка. Простейшие первые интегралы. Теорема Нётер.
12.	Понижение порядка уравнений Лагранжа по Раусу при наличии циклических координат.
13.	Задача Лагранжа о движении твердого тела с неподвижной точкой. Возможные типы движений оси динамической симметрии. Регулярная прецессия, условия ее существования. Псевдорегулярная прецессия, пример ее реализации.
14.	Равновесия консервативных механических систем. Уравнения равновесия в обобщенных координатах. Теорема Лагранжа – Дирихле о достаточном условии устойчивости равновесия.
15.	Линеаризация уравнений Лагранжа в окрестности состояния равновесия. Существование нормальных координат. Собственные значения и соответствующие собственные векторы. Разложение общего решения по собственным векторам. Частоты малых колебаний.
16.	Уравнения Гамильтона. Явный вид гамильтониана для механических систем. Первые интегралы канонических уравнений Гамильтона. Скобки Пуассона в канонических координатах, их свойства. Теорема Пуассона. Простейшие первые интегралы уравнений Гамильтона.
17.	Канонические преобразования. Определение, критерии. Производящие функции свободного и стандартного канонических преобразований.
18.	Сохранение канонической формы уравнений Гамильтона при канонических преобразованиях. Гамильтониан преобразованных уравнений. Выражение гамильтониана преобразованной системы через производящие функции. 
19.	Уравнение Гамильтона-Якоби, его полный интеграл. Теорема Якоби, метод Гамильтона-Якоби интегрирования канонических уравнений Гамильтона. Простейшие случаи разделения переменных в полном интеграле уравнения Гамильтона-Якоби. 
20.	Теорема Лиувилля об интегрировании в квадратурах канонических уравнений Гамильтона.
21.	Экстремальные свойства решений уравнений Лагранжа и Гамильтона. Принцип Гамильтона на многообразии положений и в фазовом пространстве (в форме Пуанкаре).
22.	Канонические отображения. Каноничность отображения вдоль решений гамильтоновой системы. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Интегральные инварианты гамильтоновых систем.
23.	Представление близкого к тождественному канонического преобразования с помощью генератора. Осреднение в периодических гамильтоновых системах, близких к интегрируемым. Использование генераторов для получения высших приближений. Примеры.