Программа экзамена по курсу «Аналитическая механика» для студентов 4-го курса
Лектор: профессор Е.И. Кугушев

Уравнения Лагранжа 2-го рода
1. Принцип Даламбера-Лагранжа. 
2. Уравнения Лагранжа второго рода. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно старших производных. Обобщенные силы. Случай потенциальных сил, лагранжиан. Первые интегралы уравнений Лагранжа: обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби), циклические координаты и циклические интегралы. 
3. Понижение порядка по Раусу. 

Вариационные принципы. Симметрии.
4. Поле симметрий. Теорема Нётер о первых интегралах.
5. Вариационные принципы. Функционал действия и его вариация. Принцип Гамильтона. Принцип Мопертюи-Якоби. Метрика Якоби. Вариация по Гамильтону и по Мопертюи-Якоби. 

Устойчивость положений равновесия. Малые колебания.
6. Положения равновесия натуральных лагранжевых систем. Устойчивость положения равновесия по Ляпунову. Теорема Лагранжа-Дирихле. 
7. Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия. Нормальные координаты. Уравнение малых колебаний. 
8. Диссипативные и гироскопические силы. Диссипативность сил Релея. Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость положения равновесия (обобщение теоремы Лагранжа-Дирихле при наложении диссипативных и гироскопических  сил).  
9. Теорема Ляпунова о неустойчивости по первому приближению (формулировка). Степень неустойчивости. Теорема о невозможности гироскопической стабилизации. Четность характеристического полинома линеаризованных уравнений в потенциальном случае. Парность корней характеристического уравнения. 

Инвариантная мера
10. Инвариантная мера. Мера с гладкой плотностью. Плотность при замене координат. Теорема Лиувилля об инвариантной мере. Построение инвариантной меры на многообразии уровней первых интегралов (Существование инвариантной меры у ограничения системы на инвариантное многообразие.)
11. Интегрируемость в квадратурах. Теорема Якоби о последнем множителе.
12. Теорема Пуанкаре о возвращении.

Динамика тяжелого твердого тела с неподвижной точкой
13. Динамика тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Динамические уравнения Эйлера. Уравнения Пуассона. Первые интегралы уравнений Эйлера-Пуассона.  
14. Инвариантная мера уравнений Эйлера-Пуассона и интегрируемость в квадратурах. Понятие о трех классических случаях интегрируемости: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.
15. Случай волчка Эйлера. Уравнения движения, первые интегралы, стационарные вращения. Фазовый портрет уравнений Эйлера. Устойчивость стационарных вращений. Эллипсоид инерции. Геометрическая интерпретация Пуансо движения волчка Эйлера. Регулярная прецессия в случае Эйлера.
16. Случай Лагранжа. Функция Лагранжа. Циклические интегралы. Понижение порядка по Раусу. Фазовый портрет приведенной системы. След оси динамической симметрии на сфере. Регулярная прецессия волчка Лагранжа.

Гамильтонова механика I
17. Функция Гамильтона, канонические уравнения движения Гамильтона. Гамильтониан натуральной системы. 
18. Свойства уравнений Гамильтона: интеграл энергии; циклические интегралы и понижение порядка в уравнениях Гамильтона; инвариантная мера уравнений Гамильтона (теорема Лиувилля о сохранении фазового объема)
19. Принцип Гамильтона в фазовом пространстве. Лемма об аннуляторе канонической 2-формы. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Интегральный инвариант Пуанкаре.
20. Инвариантность канонической 2-формы при сдвиге по траекториям. Еще раз теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.
21. Канонические преобразования. Производящая функция. Свободные канонические преобразования. Производящая функция тождественного преобразования.
22. Уравнение Гамильтона-Якоби. Его полный интеграл. Разрешимость в квадратурах.
23. Понижение порядка по Уиттекеру. Автономизация системы.

Гамильтонова механика II
24. Симплектическое многообразие. Формулировка теоремы Дарбу о канонических координатах. Гамильтоново векторное поле. 
25. Скобка Пуассона и ее свойства. Тождество Якоби. Алгебры Ли - примеры. Связь коммутатора функций и гамильтоновых векторных полей. Теорема Пуассона о первых интегралах.
26. Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах. 
27. Переменные действие-угол. Переменные действие-угол для систем с одной степенью свободы. Переменные действие-угол для гармонического осциллятора.